Обыкновенные дифференциальные уравнения

Книга отличается от имеющихся учебных руководств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы, диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения), и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс). Книга рассчитана на студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложений. Оглавление Предисловие Глава 1. Основные понятия § 1. Фазовые пространства и фазовые потоки § 2. Векторные поля на прямой § 3. Фазовые потоки на прямой § 4. Примеры векторных полей и фазовых потоков на плоскости § 5. Неавтономные уравнения § 6. Касательное пространство Глава 2. Основные теоремы § 7. Векторное поле вблизи неособой точки § 8. Применения к неавтономному случаю § 9. Применения к уравнениям выше первого порядка § 10. Фазовые кривые автономной системы § 11. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы § 12. Консервативная система с одной степенью свободы Глава 3. Линейные системы § 13. Линейные задачи § 14. Показательная функция § 15. Свойства экспоненты § 16. Определитель экспоненты § 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты --- случай вещественных и различных собственных чисел § 18. Комплексификация и овеществление § 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством § 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения § 21. Классификация особых точек линейных систем § 22. Топологическая классификация особых точек § 23. Устойчивость положений равновесия § 24. Случай чисто мнимых собственных чисел § 25. Случай кратных собственных чисел § 26. О квазимногочленах § 27. Линейные неавтономные уравнения § 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами § 29. Вариация постоянных Глава 4. Доказательства основных теорем § 30. Сжатые отображения § 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий § 32. Теорема о дифференцируемости Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях § 33. Дифференцируемые многообразия § 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии § 35. Фазовый поток, заданный векторным полем § 36. Индексы особых точек векторного поля Программа экзамена Образцы экзаменационных задач Предметный указатель АРНОЛЬД Владимир Игоревич Выдающийся математик, академик АН СССР (РАН). Родился в Одессе, в семье известного математика и методиста И. В. Арнольда. В 1959 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Доктор физико-математических наук (1963). До 1987 г. работал в университете; с 1965 г. - профессор. С 1986 г. работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова. В 1990 г. был избран действительным членом Академии наук СССР (с 1991 г. - Российская академия наук). Президент Московского математического общества (1996). Член многочисленных иностранных академий и научных обществ, лауреат многих отечественных и зарубежных премий в области математики, обладатель ряда почетных докторских степеней в зарубежных университетах. В. И. Арнольд - автор работ в области топологии, теории дифференциальных уравнений, теории особенностей гладких отображений, функционального анализа, теоретической механики, теории динамических систем, теории катастроф. В 20 лет, будучи учеником выдающегося советского математика А. Н. Колмогорова, он показал, что любая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде комбинации конечного числа функций от двух переменных, тем самым решив тринадцатую проблему Гильберта (1957). Он был одним из создателей теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ-теории), ветви теории динамических систем, изучающей малые возмущения почти периодической динамики в гамильтоновых системах и родственных им случаях. Автор десятков теорем, лемм, гипотез, задач и т. д., применимых в самых разных областях математики; основатель большой научной школы. Многие из его учебников и монографий были неоднократно переизданы и переведены на различные языки мира.