Монография американских математиков содержит систематическое изложение как теории непрерывных дробей над полем комплексных чисел, так и ее приложений. Эта теория в последнее время нашла разнообразные применения в вычислительной математике; иногда она приводит к наиболее эффективным вычислительным алгоритмам. Книга входит в известную «Энциклопедию математики й ее приложений», ряд томов которой уже вышел в русском переводе.

На русском языке издания на эту тему не выходили уже около 30 лет.

Для математиков различных специальностей, физиков, преподавателей, аспирантов и студентов университетов.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ

ВВЕДЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. История

1.1.1. Первые шаги

1.1.2. Результаты, относящиеся к теории чисел

1.1.3. Аналитическая теория

1.2. Обзор содержания книги

Глава 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

2.1. Предварительные замечания

2.1.1. Основные определения и теоремы

2.1.2. Правильные непрерывные дроби

2.1.3. Другие разложения в непрерывные дроби

2.1.4. Алгоритмы для вычисления подходящих дробей

2.2. Последовательности, порожденные дробно-линейными преобразованиями

2.3. Преобразования эквивалентности

2.3.1. Эквивалентные непрерывные дроби

2.3.2. Эйлерова [1748] связь между непрерывными дробями и бесконечными рядами

2.4. Свертки и расширения

2.4.1. Свертка непрерывных дробей

2.4.2. Четная Часть непрерывной дроби

2.4.3. Нечетная Часть непрерывной дроби

2.4.4. Расширение непрерывной дроби

Глава 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

3.1. Введение

3.2. Сходимость периодических непрерывных дробей

3.3. Двойственные периодические непрерывные дроби


Глава 4. СХОДИМОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

4.1. Введение

4.2. Области элементов, области значений и последовательности вложенных круговых областей

4.3. Необходимые условия сходимости

4.3.1. Теорема Штерна---Штольца

4.3.2. Необходимые условия для наилучших областей значений и областей сходимости

4.4. Достаточные условия сходимости; постоянные элементы

4.4.1. Классические результаты и их обобщения

4.4.2. Параболические области сходимости

4.4.3. Окрестности сходимости для дробей вида К (an/1)

4.4.4. Парные области сходимости

4.4.5. Прочие критерии сходимости

4.5. Достаточные условия сходимости; переменные элементы

4.5.1. Введение; классификация непрерывных дробей

4.5.2. Правильные С-дроби

4.5.3. Положительно определенные J-дроби

4.5.4. Общие Г-дроби

Глава 5. МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ

5.1. Соответствие

5.2. Трехчленные рекуррентные соотношения

5.3. Минимальные решения трехчленных рекуррентных соотношений

5.4. Равномерная сходимость

5.5. Таблицы Паде

5.5.1. Аппроксимации Паде

5.5.2. Многоточечные таблицы Паде

Глава 6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫМИ ДРОБЯМИ

6.1. Непрерывные дроби Гаусса

6.1.1. Гипергеометрические функции F (а, b; с; z)

6.1.2. Вырожденные гипергеометрические функции Ф (b; с; z)

6.1.3. Вырожденные гипергеометрические функции W (с; z)

6.1.4. Вырожденные гипер геометрические функции Q (а, b; z)

6.2. Представления, полученные из минимальных решений

Глава 7. ТИПЫ СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ И АЛГОРИТМЫ ИХ ПОСТРОЕНИЯ

7.1. Правильные С-дроби

7.1.1. Соответствие правильных С-дробей

7.1.2. Алгоритм частных и разностей

7.1.3. g-дроби

7.2. Присоединенные непрерывные дроби и J-дроби

7.2.1. Соответствие присоединенных непрерывных дробей

7.2.2. J-дроби и ортогональные полиномы

7.3. Общие Т-дроби

7.3.1. Соответствие общих Т-дробей


7.3.2. FG-алгоритмы

7.3.3. Представление аналитических функций

7.4. Устойчивые полиномы

Глава 8. АНАЛИЗ ОШИБОК АППРОКСИМАЦИИ

8.1. Введение

8.2. Общая теория областей включения и ошибки аппроксимации

8.3. Явные оценки для областей включения и границ ошибок аппроксимации

8.4. Ускоренная сходимость

Глава 9. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ

9.1. Введение

9.2. Проблемы моментов

9.3. Интегральные представления непрерывных дробей

9.4. Асимптотические разложения непрерывных дробей

9.5. Решения проблем моментов

9.6. Представления аналитических функций

Глава 10. ЧИСЛЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

10.1. Общие оценки относительной ошибки округления

10.2. Методы оценки gk

10.3. Приложения

Глава 11. ПРИЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ К ПРОЦЕССАМ РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ

11.1. Процессы размножения и гибели

11.2. Вычислительные процедуры

Глава 12. СМЕШАННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

12.1. Разложения в Т-дроби семейств ограниченных функций

12.2. Т-дроби, соответствующие рациональным функциям

12.3. Локализация особых точек аналитических функций, представленных непрерывными дробями

12.4. Однолистность функций, представленных непрерывными дробями

Приложение А. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕКОТОРЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

Приложение Б. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МИНИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ ТРЕХЧЛЕННЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Именной указатель

Предметный указатель